2016考研数学：解析线性代数的命题核心


相对于高等数学和概率论与数理统计，线性代数对基本概念的要求更高，试题的综合性更强，在复习的后期，更需要考生系统梳理考点，搭建知识框架。从实际考试的情况来看，对概念理解的不到位和知识体系不清晰也是大部分考生在线性代数中丢分的主要原因。因此，我们结合多年教学经验以及考试大纲和历年真题的要求，总结了线性代数各个章节的主要考点和命题核心，希望能给广大考生的复习带来帮助。
　　总体来说，线性代数主要包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型六章内容。
　　一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法
　　行列式是线性代数中最基本的运算之一，其计算方法灵活多变，与后续章节联系很多，出题方式非常多变，是考生在接触线性代数后面临的第一道关卡。
　　从考试的角度看，涉及本章的内容主要有：
　　1.行列式的定义和性质;
　　2.行列式的展开定理;
　　3.行列式与矩阵运算的关系;
　　4.行列式和特征值的关系。
　　考生在复习本章时，应该注意如下三个方面：单从本章的内容来说，要理解行列式的定义、性质和展开定理，并掌握利用它们计算各种类型的数值型行列式的方法;从与其它章节结合的角度来说，要掌握矩阵的各种运算以及行列式与特征值的关系，并掌握利用它们计算各种抽象型行列式的方法;最后，从整个学科的知识体系来说，还需要全面总结行列式在整个理论体系中的应用，从而达到对整个学科的融会贯通。
　　二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用
　　矩阵是线性代数的“活动基地”，在整个学科中有很基本的意义。本章的重难点、易错点较多，同时也是其它章节的基础和相互之间联系的桥梁，需要引起考生足够的重视。
　　从历年真题及考试大纲的要求来看，本章主要有如下几方面的内容：
　　1)矩阵的定义、运算及运算法则;
　　2)逆矩阵与伴随矩阵;
　　3)初等变换与初等矩阵;
　　4)矩阵的秩。
　　其中，矩阵的运算是基础，这里有一个易错点是矩阵的运算法则中与我们熟知的数的运算法则中不同的地方，需要考生多加注意，在学习之初就养成良好的计算习惯，避免犯错。逆矩阵和伴随矩阵是本章一个比较大的考点，在考试中出现的频率很高;考生首先需要理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件。在证明矩阵可逆的充要条件时，伴随矩阵起到了很关键的作用，有关它的题目一直也都是一个难点。对此考生需要理解伴随矩阵的概念，掌握它的主要性质，尤其是它与逆矩阵的联系。初等变换是线性代数中最基本的运算之一，基本上在每一章都有涉及。考生需要理解它与初等矩阵之间的关系，掌握利用初等行变换求逆矩阵的方法。最后，秩是贯穿线性代数始终的一个基本的概念，考生需要正确理解它的定义，掌握它的基本公式以及基本的计算方法。
　　三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定
　　向量的概念抽象性较强，对考生的逻辑推理能力要求较高，是线性代数的难点之一。同时，这一部分的知识也是理解线性方程组相关理论的基础，考生在学习本章时一定要注意这两部分的结合。
　　本章的主要内容有：
　　1.向量组的线性表出、线性相关性的概念和性质;
　　2.向量组的等价、极大线性无关组和秩等概念;
　　3.向量的秩与矩阵的秩的关系;
　　4.向量的内积与正交的概念，向量组的正交规范化的施密特方法;
　　5.向量空间及其基的概念(数一)。
　　学习本章时，首先要掌握理解的线性组合、线性表出、线性相关和线性无关性等概念，掌握它们和线性方程组的关系。然后，要记住常见的性质、定理并掌握利用它们判断线性表出和线性相关性的方法;对于重要的性质、定理，还要掌握证明的思想方法。在此基础之上，再了解向量组等价的概念，重点理解极大线性无关组的定义和常见性质并进一步理解秩的概念。系统地学习过向量组和矩阵的秩之后，线性代数的大多数结论都可以通过秩来表示了。考生对这一部分要多加重视，要学着用秩的语言来解释前面的一些结论。向量的内积在本章用得不多，了解其定义及正交化方法即可。向量空间是数学一单独考察的内容，考试只需记住一些简单的定义和公式即可。
　　四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路
　　线性方程组是线性代数的核心内容，在整个学科中占有很重要的位置。要正确理解这一部分的内容，需要综合运用矩阵、向量、秩等的基本概念和重要定理，对考生的综合能力要求较高。学好本章的内容对考生系统把握整个学科前半部分的理论体系有很关键的作用。
　　在学习本章的时候，考生要紧紧围绕如下这三个基本问题：
　　1.线性方程组有没有解(解的存在性)?
　　2.有解的时候，有多少解，解是唯一的还是无穷的多的(解的唯一性)?
　　3.有无穷多解的时候，通解怎么表示(解的结构)?
　　本章结合向量和秩的理论，对这三个问题都有回答。考生在学习的时候，首先要学会线性方程组的表示方法以及用高斯消元法求解线性方程组的方法，这是学习本章最基本的技能。然后，要结合向量来理解线性方程组的相关问题，要正确理解矩阵、行列式、秩等概念在整个理论体系中的作用，系统地把握整个体系。
　　五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解
　　特征值与特征向量是线性代数在线性方程组以外的另一个核心问题。本章是考试的热点与难点，在考试中占有很大的比重。本章的内容综合性很强，需要考生在行列式、矩阵、线性方程组等部分具有扎实的基础。学好本章也是考生学习下一章二次型的基础。
　　从考试的角度看，本章主要有三个基本问题：
　　1.特征值与特征向量的定义、计算方法与常用性质;
　　2.矩阵相似对角化的定义、判断条件和计算方法以及矩阵的相似的定义与性质;
　　3.实对称矩阵的特征值与特征向量和相似对角化的特殊性质。
　　其中，矩阵的相似对角化是核心问题，考生需要重点掌握它的充要条件以及相关的常见计算。特征值与特征向量是研究相似对角化的工具，本章绝大部分计算都要通过特征值与特征向量来进行，所以掌握它们的定义和计算方法是本章对考生最基本的要求。同时，特征值与特征向量的常用性质也是很重要的考点。对于实对称我们要重点掌握它们的特殊性质，以及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法，这也是学习第六章二次型的基础。
　　六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理
　　二次型是线性代数的重要内容，主要处理二次型的合同变换，二次型的合同标准型和规范型，二次型的正定性等问题。本章需要结合特征值特征向量的相关知识，主要是是对称矩阵的正交相似对角化。从考试的角度看，本章的核心问题有三个：
　　1.二次型的合同变换以及合同标准型;
　　2.二次型的惯性指数和合同规范型;
　　3.二次型的正定性。
　　其中对于二次型的合同标准型主要掌握利用正交变换法化二次型为标准型的方法，这一部分由于可以结合特征值和特征向量的相关考点，考试涉及非常多。然后要掌握惯性定理，理解二次型的惯性指数和合同规范型的定义，进而掌握二次型合同的充要条件。最后，对于正定二次型，考生要着重掌握其定义和等价的判断条件，以进行简单的证明。

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